Teka-teki Bilangan Prima Telah Membingungkan Para Matematikawan Selama Lebih Dari Satu Abad

Saat saya sedang mencari hadiah untuk ulang tahun anak saya, sebuah buku matematika jatuh ke tangan saya. Saya selalu terpesona ketika penulis menulis tentang topik ilmiah abstrak untuk anak-anak, baik itu teori Albert Einstein, kehidupan Marie Curie, teknologi, atau perjalanan luar angkasa. Namun buku khusus ini berbeda. Ini semua tentang bilangan prima—khususnya bilangan prima kembar. Penulis asal Denmark, Jan Egesborg, berupaya mengenalkan anak-anak pada salah satu permasalahan terbuka yang paling keras kepala dalam teori bilangan, yang bahkan para pemikir paling cemerlang sekalipun berulang kali gagal memecahkannya selama 100 tahun terakhir: dugaan bilangan prima ganda.

Seperti yang sering terjadi dalam matematika, dugaan tersebut masuk dalam kategori mudah dipahami namun sulit dibuktikan. Bilangan prima kembar adalah dua bilangan prima yang berjarak dua pada garis bilangan; yaitu bilangan-bilangan tersebut berurutan jika kita mengabaikan bilangan genap. Contohnya adalah 3 dan 5, 5 dan 7, serta 17 dan 19. Anda bisa menemukan banyak bilangan prima kembar di antara bilangan-bilangan yang lebih kecil, namun semakin jauh ke atas garis bilangan tersebut, semakin jarang bilangan tersebut.

Hal ini tidak mengherankan, mengingat bilangan prima semakin jarang ditemukan di antara bilangan besar. Namun, orang-orang telah mengetahui sejak zaman kuno bahwa ada bilangan prima tak terhingga, dan dugaan bilangan prima-kembar menyatakan bahwa ada juga bilangan prima-kembar tak terhingga. Artinya, seberapa besar pun nilainya, akan selalu ada bilangan prima berurutan di antara bilangan ganjil.

Tentang mendukung jurnalisme sains

Jika Anda menyukai artikel ini, pertimbangkan untuk mendukung jurnalisme pemenang penghargaan kami dengan langganan. Dengan membeli langganan, Anda membantu memastikan masa depan cerita yang berdampak tentang penemuan dan ide yang membentuk dunia kita saat ini.

Memang benar, menerjemahkan konsep ini untuk anak-anak tidaklah mudah (itulah sebabnya saya sangat menghormati Egesborg dan buku anak-anaknya). Bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13,…) seperti partikel elementer bilangan asli. Mereka hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Semua bilangan asli lainnya dapat dipecah menjadi pembagi primanya, yang menjadikan bilangan prima sebagai bahan dasar dunia matematika.

Bukti dari Zaman Kuno

Matematika memiliki bahan penyusun bilangan prima yang jumlahnya tidak terbatas. Euclid membuktikannya lebih dari 2.000 tahun yang lalu dengan eksperimen pemikiran sederhana. Misalkan hanya ada sejumlah bilangan prima yang terbatas, yang terbesar P. Dalam hal ini, semua bilangan prima hingga P dapat dikalikan bersama-sama.

Dalam hal ini, Anda dapat mengalikan semua bilangan prima hingga P satu sama lain dan tambahkan 1: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x … x P + 1. Hasilnya tidak habis dibagi bilangan prima mana pun yang ada. Artinya bilangan 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x…x P + 1 adalah bilangan prima atau mempunyai faktor prima yang tidak muncul pada 2, 3,…, P Bilangan prima. Oleh karena itu, tidak ada daftar bilangan berhingga yang dapat lengkap; selalu memungkinkan untuk membangun yang tambahan. Oleh karena itu, ada banyak bilangan prima yang tak terhingga.

Namun, tidak semua misteri tentang bilangan prima telah terpecahkan. Distribusinya pada garis bilangan, khususnya, masih menjadi misteri. Meskipun kita tahu bahwa bilangan prima semakin jarang muncul di antara bilangan besar, kita tidak dapat menentukan dengan pasti bagaimana bilangan tersebut didistribusikan.

Pada dasarnya jarak rata-rata antara satu bilangan prima dengan bilangan prima berikutnya adalah nilai ln(P). Untuk jumlah yang kecil P = 19, ini setara dengan ln(19) ≈ 3. Untuk bilangan prima besar 2,147,483,647, jaraknya sekitar 22. Untuk nilai besar 531,137,992,816,767,098,689,588,206,552,767 31,923,199,444,138,200,4 03,5 59.860.852.242.739.162.502.265.229.285.668.889.329.486.246.501.015.901.015.924 9.519.978.766.587.351.943.831.270.835,39 3.219.031.728.127 (juga bilangan prima), jaraknya sekitar 420 .

Seperti yang ditunjukkan dalam contoh ini, jarak rata-rata antara bilangan prima bertambah seiring bertambahnya ukuran P. Dan fakta ini membuat bilangan prima kembar, yang memiliki jarak sekecil mungkin di antara keduanya (selain 2 dan 3), sangat menarik bagi para ahli teori bilangan. Dengan bertambahnya jarak rata-rata antara bilangan prima, ada kemungkinan bahwa pada suatu saat tidak akan ada lagi bilangan kembar. Namun sebagian besar ahli berpendapat sebaliknya. Mengapa menurut mereka harus ada titik tertentu pada garis bilangan di mana tidak ada lagi bilangan prima kembar yang tiba-tiba muncul? Apa yang membuat poin yang satu ini begitu istimewa? Para ahli teori bilangan berasumsi bahwa meskipun bilangan kembar prima ini semakin langka, Anda akan selalu bertemu pasangan lain.

Perhitungan komputer sampai saat ini tampaknya mendukung pandangan ini. Pasangan bilangan prima kembar terbesar yang ditemukan sejauh ini adalah: 2.996.863.034.895 x 2^1.290.000 + 1 dan 2.996.863.034.895 x 2^1.290.000 – 1, keduanya angka dengan 388.342 digit. Pencarian dengan bantuan komputer tidak akan berhasil buktikan itu bahwa bilangan prima ganda jumlahnya tak terhingga banyaknya. Dibutuhkan taktik yang lebih kuat.

Kejutan yang Tak Terduga

Seorang ahli matematika yang kurang dikenal mengemukakan hal ini pada tahun 2013. Yitang Zhang sebelumnya adalah seorang yang terkenal di antara sedikit pakar—tetapi kemudian dia menerbitkan sebuah makalah yang menghantam dunia teori bilangan seperti sebuah bom. Dia tidak dapat membuktikan dugaan prima kembar namun menunjukkan sesuatu yang mendekati dugaan tersebut, yang merupakan kemajuan lebih dari yang pernah dicapai siapa pun sejak dugaan prima kembar dirumuskan pada abad ke-19.

Zhang menunjukkan bahwa ada banyak sekali pasangan bilangan prima bertipe (P, P + N) dengan jarak N di antaranya kurang dari 70 juta. Dugaan jabatan perdana menteri ganda akan terbukti jika dia bisa membuktikan hasilnya N = 2. Sebaliknya Zhang menunjukkan bahwa di antara semua pasangan bilangan prima dengan jarak kurang dari 70 juta, paling sedikit terdapat satu pasangan (P, P + N) yang sering terjadi tanpa batas waktu.

Pembuktian ini merupakan langkah maju yang besar karena matematikawan tidak hanya tertarik pada bilangan prima kembar tetapi juga jenis pasangan bilangan prima lainnya, seperti pasangan bilangan prima yang berjarak empat (seperti 3 dan 7 atau 19 dan 23), jadi- disebut bilangan prima sepupu, atau bilangan prima yang mempunyai jarak enam (seperti 5 dan 11 atau 11 dan 17), yang disebut bilangan prima seks. Secara umum, tidak jelas apakah pasangan-pasangan ini ada dalam jumlah tak terhingga.

Zhang mencapai hasil luar biasa ini dengan menggunakan apa yang oleh para ahli matematika disebut sebagai filter bilangan prima. Konstruksi ini dapat dianggap sebagai filter nyata: Anda memasukkan semua bilangan asli ke dalamnya dan menyaring semua nilai non-prima. Ide ini diberi nama sesuai dengan nama sarjana dan matematikawan Yunani kuno, Eratosthenes, meskipun catatan tertulis pertama yang diketahui berasal dari beberapa abad setelah ia hidup. Ini melibatkan daftar bilangan asli di mana setiap nilai genap (selain 2) dihilangkan, kemudian semua kelipatan 3, kelipatan 5, dan seterusnya, sehingga hanya bilangan prima yang tersisa di akhir.

Meskipun filter Eratosthenes akurat, namun sangat sulit diterapkan pada masalah konkret dari sudut pandang matematika. Menggunakan metode ini untuk membuktikan pernyataan umum tentang bilangan prima tampaknya tidak ada harapan dalam banyak kasus. Oleh karena itu, Zhang menoleh yang lain saringan yang hanya menyaring bilangan dengan pembagi prima yang besar. Meskipun filter ini tidak seefektif filter lainnya, filter ini memberikan fleksibilitas yang cukup untuk menjalankan pemeriksaan ekstensif. Zhang mengerjakan dugaan prima ganda selama bertahun-tahun—teori bilangan sebenarnya bukan bagian dari bidang penelitiannya.

Kegigihan ini membuahkan hasil: Zhang membuktikan bahwa setidaknya ada satu jenis pertandingan utama dengan jarak kurang dari 70 juta yang sering terjadi. Dan kesuksesan selanjutnya tidak akan lama lagi.

Para ahli teori bilangan dari seluruh dunia memanfaatkan hasil Zhang dan mencoba memperbaikinya. Sebuah proyek bersama telah disiapkan dan banyak ahli berpartisipasi. Dengan mengoptimalkan metode Zhang, mereka mampu mengurangi jarak maksimum N antara pasangan bilangan prima agar sedekat mungkin dengan 2. Dalam beberapa bulan, mereka menunjukkan bahwa setidaknya ada satu jenis pasangan bilangan prima dengan jarak maksimum 4.680 yang terjadi tanpa batas. Pada saat yang sama, dua Peraih Medali Fields, Terence Tao dan James Maynard, secara independen mengembangkan filter yang dimodifikasi yang memungkinkan mereka mengurangi hasil menjadi 246, sebuah rekor yang belum dipecahkan sejauh ini.

Secara konkret, ini berarti jika Anda melihat semua pasangan bilangan prima (P, P + N) yang memiliki jarak antara N = 2 dan N = 246, maka paling sedikit ada satu pasangan yang sering muncul tak terhingga. Metode penyaringan tidak dapat digeneralisasikan sehingga hanya menurunkan hasil N = 2, namun.

Namun, keputusan tersebut menandai kemajuan tak terduga dalam bidang yang membingungkan banyak ahli. Maynard menjelaskan hal ini dalam a Nomorfile Video YouTube: “Ini adalah salah satu hal yang menarik dan membuat frustrasi tentang bilangan prima: sering kali sudah jelas apa jawaban yang tepat…. Permainan ini selalu berusaha mengesampingkan bahwa ada konspirasi yang sangat aneh antara bilangan prima yang akan berarti mereka akan berperilaku dengan cara yang sangat berbeda dari cara yang kami yakini seharusnya mereka lakukan.”

Tentu saja, Egesborg tidak dapat memasukkan semua rincian ini ke dalam buku anak-anaknya tentang subjek tersebut. Meski demikian, ia berhasil menulis buku yang menyampaikan beberapa konsep matematika dengan cara yang menyenangkan.

Saya membeli buku itu dan memberikannya kepada anak itu pada hari ulang tahunnya—dan. orang tuanya kemudian memberi tahu saya bahwa dia sangat menikmatinya. Namun, belakangan saya ketahui, hal ini lebih disebabkan oleh isi matematika daripada fakta bahwa seekor katak kentut dengan keras di salah satu halaman pertama.

Artikel ini awalnya muncul di Spektrum der Wissenschaft dan telah direproduksi dengan izin.