Bagi kebanyakan orang, gagasan matematika membawa kembali rumus dan persamaan yang tak ada habisnya di sekolah. Oleh karena itu, mungkin tampak sulit untuk membayangkannya, tetapi ada suatu masa ketika aritmatika belum ada. Tentu saja, masih ada kebutuhan untuk menggunakan perhitungan yang rumit untuk menyelesaikan permasalahan di dunia nyata, namun hal tersebut baru terjadi sampai Muhammad ibn-Mūsā al-Khwārizmī, yang disebut sebagai “bapak aljabar”, menetapkan dasar untuk menyelesaikan persamaan yang kami mulai meletakkan dasar bagi matematika modern.
Dalam kutipan dari buku barunya “Vektor: Kisah Mengejutkan tentang Transformasi Ruang, Waktu dan Matematika“, ahli matematika Robyn Arianrhod mengeksplorasi evolusi bahasa matematika selama 4.000 tahun — dari deskripsi kompleks hingga bentuk simbolik yang kita kenal sekarang.
Belajar berpikir secara simbolis
Aljabar telah menjadi bagian dari matematika sejak pencatatan dimulai hampir 4.000 tahun yang lalu, namun tidak selalu dalam bentuk simbolis yang kita pelajari saat ini. Faktanya, selama sebagian besar dari empat milenium itu seluruhnya ditulis dalam kata-kata dan angka — bahkan karya seperti buku teks Euclid yang terkenal pada tahun 300 SM “elemen” juga menyertakan diagram geometris, untuk membantu membuktikan hal-hal seperti teori Pitagorasdan untuk menunjukkan cara memperluas persegi yang akan kita tulis hari ini (a+b)^2.
Jadi “aljabar” dikomunikasikan dalam soal kata yang rumit atau diagram yang semakin rumit – meskipun geometri memiliki kelebihan. Misalnya, ini adalah cara termudah untuk membuktikan teorema Pythagoras. Pada gambar 1.1, saya telah memberikan adaptasi aljabar dari bukti tersebut, meskipun orang-orang zaman dahulu hanya mengatur ulang gambar tersebut untuk menunjukkan secara visual bahwa luas yang diarsir sama dengan jumlah luas persegi pada sisi-sisi yang berdekatan dari segitiga – suatu jumlah yang cukup besar. pendekatan yang cerdas!
Butuh waktu lama bagi aljabar untuk muncul dari aritmatika dan geometri sebagai mata pelajaran tersendiri. Namanya baru diperoleh pada Abad Pertengahan, dan hal itu berkat seorang ahli matematika Persia pada abad kesembilan. Muhammad bin Musa (al-) Khwārizmī… Ia belajar di universitas perintis Khalifah al-Ma’mūn, atau “Rumah Kebijaksanaan” yang berbasis di Baghdad, ketika gerakan besar penerjemahan bahasa Arab mencapai puncaknya: naskah-naskah Yunani, India, dan kuno lainnya dikumpulkan dari seluruh penjuru dunia. Kerajaan Islam yang sedang dikembangkan dan diterjemahkan ke dalam bahasa Arab.
Imperialisme jarang sekali bersifat etis dan seringkali mengandung kekerasan, namun hal ini pada akhirnya dapat mengarah pada pemupukan lintas budaya, dan dalam hal ini gerakan penerjemahan visioner sangatlah penting sehingga pada abad ke-12, orang-orang Eropa telah belajar bahasa Arab untuk menerjemahkan naskah-naskah tersebut ke dalam bahasa Latin — termasuk Ptolemeus”Almagest” dan “Elements” karya Euclid, bersama dengan karya-karya Arab baru seperti karya al-Khwārizmī. Nama “aljabar” terkenal berasal dari kata pertama judul bukunya “Al-Jabr wa’l muqābalah” — yang artinya sesuatu seperti”Ringkasan Perhitungan dengan Penyelesaian dan Penyeimbangan.”
Dilihat dari permasalahan yang dicantumkan oleh al-Khwārizmī, maka contoh yang ia maksud dengan “Solusi” adalah “menyelesaikan persegi tersebut,” sebuah metode yang mungkin Anda pelajari di sekolah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat…
Al-Khwārizmī juga tidak menulis persamaan tersebut dalam bentuk simbolis yang kita gunakan saat ini. Padahal, dalam pandangan modern, bukunya lebih bersifat aritmatika daripada aljabar, dan salah satu dampak penting di Eropa, ketika diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, adalah mempopulerkan sistem desimal Hindu-Arab yang akhirnya berkembang menjadi sistem modern kita.
Namun Al-Khwārizmī sering disebut sebagai “bapak aljabar”. Dia mungkin menggunakan kata-kata daripada simbol, dan permasalahan yang dia masukkan mungkin sederhana – tujuannya, katanya, adalah untuk mengajari siswa bagaimana memecahkan masalah-masalah mendasar dalam “kasus warisan, warisan, pembagian, tuntutan hukum dan perdagangan, dan dalam semua hal.” urusan mereka satu sama lain, atau dalam hal pengukuran tanah, penggalian kanal, perhitungan geometri, dan benda-benda lain yang bermacam-macam jenisnya.”
Namun dia secara sistematis menguraikan persamaan bentuk kata linier dan kuadrat, dengan metode algoritmik untuk menyelesaikannya – yaitu, untuk menemukan “bilangan tak dikenal” modern kita. XDan kamu‘S. Faktanya, kata bahasa Inggris “algorithm” – yang berarti seperangkat aturan untuk melakukan perhitungan atau operasi lain – berasal dari “algorismi,” sebuah upaya awal dalam bahasa Latin di Al-Khwārizmī.
…
Keunggulan persamaan simbolik adalah lebih mudahnya melihat pola-pola umum ini jika Anda dapat melihat masalahnya secara sekilas. Bandingkan ini:
Take the square of the unknown number,
then add the unknown number to itself
and take the sum away from the square;
now let the total be eight.dengan ini:
x^2–2x=8Dan lebih lanjut: Matematikawan paling awal menyelesaikan setiap persamaan secara terpisah, tetapi akan lebih mudah jika Anda dapat melihat bahwa metode apa pun dapat digunakan untuk persamaan tersebut x^2–2x=8 juga akan bekerja untuk persamaan apa pun dengan bentuk yang sama, x^2–kapak=b. Akhirnya, para ahli matematika kuno mulai menyadari hal ini, namun kemajuannya cukup lambat karena mereka harus mengingat semua pola ini, atau dalam kalimat yang panjang dan berbelit-belit, dan mudah untuk kehilangan jejak.
Yang pertama mempublikasikan kemiripan apa pun dalam bentuk simbol modern yang transparan dan dapat dikenali adalah [Thomas] Harriot eksekutor pada tahun 1631, dan setelahnya [René] Descartes dalam lampirannya pada tahun 1637 “Discourse on Method”. (Ada beberapa upaya awal, namun simbolisme – lebih tepat disebut steno – tersiksa dan istimewa.) Bahkan tanda +, −, =, dan × yang kita anggap remeh baru digunakan secara luas pada abad ke-17. Ini berarti bahwa ahli aljabar paling awal yang kita kenal — orang Mesopotamia kuno, Mesir, Cina, dan Yunani, orang India, Persia, dan Arab abad pertengahan, serta orang Eropa modern awal — semuanya mengungkapkan persamaan mereka sebagian besar dalam kata-kata atau gambar kata bergambar. .
Terkait: 9 persamaan yang mengubah dunia
Merupakan keterampilan yang luar biasa untuk berpikir secara simbolis, seperti yang ditunjukkan oleh sejarah panjang ini. Ambil kata masalah yang saya berikan di atas: ini adalah contoh pemikiran algoritmik. Namun pemikiran simbolik bersifat algoritmik dan lebih bersifat algoritmik, karena simbol-simbolnya terkadang mengandung benih kreativitas jenis baru – pemikiran baru yang ekspansif namun ekonomis.
Kasus klasiknya adalah Albert Einstein‘S E=mc^2. Einstein tidak menemukan hubungan antara energi dan materi. Sebaliknya, dia hanya ingin menghitung energi kinetik elektron yang bergerak ke arah barunya teori relativitassehingga prediksi teoritis dapat diuji secara eksperimental.
Namun, beberapa bulan kemudian, Einstein yang berusia 26 tahun mulai menyadari pentingnya persamaannya. Ia menulis tentang hal ini dalam makalah terobosannya yang kelima pada tahun 1905, annus mirabilis, namun dibutuhkan waktu dua tahun lagi untuk mengungkap implikasi penuh dan dramatis dari hubungan simbolik ini. Untuk menyadari bahwa ini bukan sekadar penghitungan bentuk energi tertentu dan jenis materi tertentu, hal ini bersifat umum: jika suatu benda memperoleh (atau kehilangan) energi, ia juga memperoleh (atau kehilangan) massa. Gagasan aneh ini asing bagi seluruh pengalaman indra kita – namun gagasan ini ada, tersembunyi dalam simbol kemiripannya. Para fisikawan eksperimental memerlukan waktu berpuluh-puluh tahun untuk memverifikasi secara eksperimental prediksi matematis yang menakjubkan ini.
Contoh yang lebih sederhana dan lebih awal adalah barisan pangkat X, x^2, x^3 dll. “Kekuatan” pertama adalah 1, jadi X benar-benar x^1 , di mana 1 secara tradisional dihubungkan secara geometris ke garis 1-D. Dua berikutnya, x^2 Dan x^3, disebut “x kuadrat” dan “x kubik” dengan analogi luas persegi dan volume kubus. Nama-nama ini menyoroti cara berpikir matematikawan awal secara geometris daripada aljabar, karena sifat geometrisnya yang jelas. Aljabar simbolik, sebaliknya, bersifat abstrak: Anda harus memberinya makna, meskipun itu hanya tampilan pola yang menarik seperti x, x^2, x^3, x^4,… Namun fleksibilitas ini merupakan kekuatan aljabar yang luar biasa. Anda dapat menulis kekuatan yang lebih tinggi (terbatas) sebanyak yang Anda suka, tanpa harus mendeskripsikannya sebagai objek fisik.
Hal ini mungkin tampak jelas saat ini, namun butuh waktu tiga setengah ribu tahun bagi para ahli matematika untuk beralih dari menyelesaikan persamaan kuadrat — “kuadrat” berasal dari bahasa Latin untuk “persegi”, sehingga persamaan kuadrat adalah persamaan pangkat tertinggi. x^2 (yang tidak diketahui dikalikan dengan dirinya sendiri, seperti yang dikatakan orang dahulu) — untuk menyelesaikan persamaan “kubik” dan persamaan yang lebih tinggi. Tentu saja persamaan tingkat yang lebih tinggi ini jauh lebih sulit; Namun salah satu alasan mengapa solusi tidak mudah diperoleh adalah karena aljabar telah lama dikaitkan dengan kata-kata dan gambar konkret.
Misalnya saya menyebutkan Al-Khwārizmī “menyelesaikan kuadrat” untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Ini sebenarnya terjadi dalam kurun waktu 4.000 tahun, (sejauh yang ditunjukkan oleh catatan sejarah) sejak tablet-tablet berhuruf paku yang dibuat oleh ahli matematika yang hidup, seperti Al-Khwārizmī, di wilayah Irak modern. Orang-orang Mesopotamia kuno ini memecahkan persamaan kuadrat dengan menyelesaikan kuadrat secara harafiah.
Di Sini masalah pengajaran umum pada saat itu: “Tambahkan 20 panjangku ke luas persegiku, [to get] 21. Berapa luas persegi saya?” Jenis soal ini, dan algoritma untuk menyelesaikannya, mirip dengan apa yang diajarkan saat ini — hanya saja empat ribu tahun yang lalu, metode ini dikerjakan seluruhnya secara geometris. Pertama, gambarlah sebuah persegi secara sembarang sama sisi. X (dalam notasi modern); kemudian tambahkan ke dalamnya persegi panjang berdimensi 20 [by] X. Sekarang bagilah persegi panjang ekstra ini menjadi dua persegi panjang yang lebih kecil dan sama besar dan susunlah di samping dan di bawah persegi aslinya. Terakhir, lengkapi persegi baru yang lebih besar ini, seperti pada gambar 1.2.
Masyarakat Mesopotamia mempunyai permasalahan praktis ketika mereka mengembangkan metode ini, setidaknya pada awalnya. Tinggal di negeri yang airnya sangat mahal, tablet-tablet mereka mengandung banyak masalah yang berkaitan dengan penggalian kanal dan waduk, kapasitas tangki, pembangunan dan perbaikan bendungan dan tanggul, serta rekening administratif yang terkait dengan tugas-tugas ini — dan untuk memecahkan masalah-masalah ini. para ahli matematika kuno ini harus menyelesaikan persamaan yang berkaitan dengan luas dan volume.
Hampir 3.000 tahun kemudian, Al-Khwārizmī juga berfokus pada masalah praktis serupa, dan dia menggunakan metode geometri serupa untuk menyelesaikan kuadrat — dan begitu pula matematikawan lainnya hingga abad ke-17.
Kutipan ini telah diedit untuk gaya dan panjangnya. Dicetak ulang dengan izin dari “Vectors: The Surprising Story of Space, Time, and Mathematical Transformation” oleh Robyn Arianrhod, diterbitkan oleh The University of Chicago Press. © 2024 oleh Robyn Arianrhod. Seluruh hak cipta.
