Memanggang bukanlah kelebihan saya. Jadi ketika saya mempunyai tamu rumah, saya pergi ke toko roti untuk pencuci mulut dan sering kali dimanjakan dengan banyak pilihan. Dengan begitu banyak pilihan kue dan kue tar yang menggugah selera, saya kesulitan menentukan pilihannya. Strategi saya adalah mengatakan, “Oh, mengapa Anda tidak memberi saya masing-masing satu porsi?”
Pendekatan ini sebenarnya terkait dengan perdebatan terkenal dalam matematika. Bukan kurangnya ketegasan saya yang akan membuat marah seorang ahli matematika (kecuali mereka berdiri di belakang saya dalam antrean). Tidak, yang sebenarnya menyebabkan masalah ini adalah gagasan bahwa saya sebenarnya bisa memilih sepotong atau sepotong kue dan kue tar yang berbeda-beda dan membawanya pulang. Ide tersebut terkait dengan kebenaran mendasar yang belum terbukti, yang disebut aksioma pilihan.
Pada awalnya, pendekatan ini tidak akan melanggar prinsip matematika apa pun. Namun kesimpulan yang mengikuti aksioma pilihan telah memicu kontroversi terbesar dalam matematika. Hal ini karena aksioma ini memberikan hasil yang tampaknya bertentangan: misalnya, aksioma ini dapat menggandakan bola secara “ajaib” atau menyiratkan bahwa ada objek terbatas yang tidak dapat diukur.
Tentang mendukung jurnalisme sains
Jika Anda menyukai artikel ini, pertimbangkan untuk mendukung jurnalisme pemenang penghargaan kami dengan berlangganan. Dengan membeli langganan, Anda membantu memastikan masa depan cerita yang berdampak tentang penemuan dan ide yang membentuk dunia kita saat ini.
Oleh karena itu, beberapa ahli secara khusus menunjukkan kapan mereka menggunakan aksioma pilihan dalam sebuah pembuktian—dan ada ahli matematika yang ingin mengubah subjek tanpa aksioma ini. Namun dunia tanpa aksioma pilihan bahkan lebih aneh lagi.
Matematika Dasar
Untuk memahami perdebatan ini, pertama-tama kita perlu mempertimbangkan apa yang membedakan matematika dari ilmu-ilmu alam lainnya. Pada akhir abad ke-19, para ahli matematika menyadari bahwa mereka perlu menyepakati suatu landasan bersama—yaitu, beberapa kebenaran dasar—termasuk seperangkat aturan. Idenya adalah bahwa semua hasil matematika—baik 1 + 1 = 2 atau integral rumit—dapat diturunkan dari landasan yang sama. Setiap pernyataan dan bukti dapat diperiksa dengan jelas menggunakan seperangkat aturan yang sama.
Pada saat para ahli matematika menciptakan hukum-hukum umum ini, teori himpunan tampaknya menjadi titik awal yang baik. Para ahli kemudian harus menyepakati kebenaran dasar, atau aksioma, yang diterima sebagai kebenaran meskipun mereka menganggapnya tidak dapat dibuktikan. Misalnya, “ada himpunan kosong” adalah salah satu kebenaran berikut. Ia memenuhi semua persyaratan aksioma: singkat, tepat, mendefinisikan objek yang tidak ambigu, dan kebenarannya tidak dapat disangkal.
Matematikawan mencari aksioma lain dengan harapan menemukan seperangkat aturan yang paling sederhana dan terpendek yang dapat digunakan untuk membangun keseluruhan subjek. Dan mereka berhasil. Upaya mereka menghasilkan apa yang disebut sistem aksioma Zermelo-Fraenkel, yang terdiri dari delapan kebenaran dasar. Semua aksioma ini menyatakan bahwa ada suatu himpunan tertentu: misalnya himpunan kosong atau himpunan pangkat (himpunan semua himpunan bagian) dari himpunan tersebut. Dan ini selalu didefinisikan dengan jelas oleh aksioma.
Namun, ahli matematika Ernst Zermelo segera menyadari bahwa delapan kebenaran dasar ini tidaklah cukup. Oleh karena itu, pada tahun 1904 ia memperkenalkan aksioma pilihan. Dan dengan demikian dimulailah konflik.
Anda Selalu Memiliki Pilihan
Aksioma pilihan memungkinkan Anda memilih satu elemen pada satu waktu dari serangkaian himpunan kosong—sama seperti saya bisa mendapatkan sepotong kue di toko roti. Pada awalnya, tampaknya wajar jika hal ini mungkin terjadi. Namun, aksioma pilihan tidak terbatas pada kasus yang terbatas: meskipun jumlah kuenya tak terbatas, aksioma pilihan memungkinkan Anda memilih satu potong dalam satu waktu.
Sebuah aksioma pada dasarnya menyatakan bahwa ada aturan yang memungkinkan Anda membuat permintaan itu. Misalnya, salah satu aturannya adalah: “Tolong beri saya sepotong tepi setiap kue.” Hal ini memberikan instruksi khusus kepada orang-orang di belakang konter toko roti yang dapat mereka ikuti. Namun menemukan “bagian tepi” memang merupakan instruksi yang lebih mudah untuk kue persegi panjang daripada kue bundar. Saya hanya dapat mengatakan bahwa saya ingin sepotong dari setiap kue—tetapi saya tidak dapat memutuskan mana yang saya inginkan.
Kurangnya akurasi inilah yang mengganggu banyak ahli. Aksioma lain memprediksi himpunan yang terdefinisi dengan baik. Namun dalam aksioma pilihan, “fungsi seleksi” (atau perintah yang saya berikan kepada pembuat roti) akan membuat saya menerima sesuatu yang tidak dapat saya jelaskan sepenuhnya sebelumnya.
Kemudian, pada tahun 1904, Zermelo, yang memperkenalkan aksioma pilihan, menemukan hasil yang sangat berlawanan dengan intuisi yang hanya dapat dia buktikan dengan bantuan aksioma pilihan. Dia menunjukkan bahwa jumlah berapa pun dapat dipesan dengan baik. Dari apa yang disebut teorema keteraturan ini, antara lain, setiap himpunan mempunyai elemen terkecil dalam keteraturan tersebut.
Tapi ini bertentangan dengan prinsip matematika pada umumnya. Jika Anda menganggap himpunan (0, 1), misalnya, himpunan tersebut berisi semua bilangan real yang lebih besar dari 0 dan kurang dari 1. Anda selalu menghitung dengan himpunan seperti itu dalam matematika. Penting untuk diperhatikan bahwa 0 dan 1 bukan bagian dari (0, 1). Teorema tertata rapi menyiratkan bahwa himpunan ini memiliki elemen terkecil dalam urutan tertentu. Namun hal ini tidak dapat dilakukan dengan pendekatan biasa dalam menyusun bilangan: tidak ada unsur terkecil dalam himpunan ini menurut matematika standar. Faktanya, tidak ada jawaban yang disepakati untuk pertanyaan ordo mana yang menghasilkan bilangan terkecil (0,1).
Keputusan Zermelo memicu perdebatan filosofis di seluruh dunia: Kapan objek matematika (seperti fungsi seleksi atau elemen terkecil dari himpunan) ada? Apakah kita harus selalu mampu menentukan bagaimana suatu objek dapat dikonstruksi—atau cukupkah kita membuktikan keberadaannya secara tidak langsung? “Dari tahun 1905 hingga 1908 ahli matematika terkemuka di Inggris, Perancis, Jerman, Belanda, Hongaria, Italia dan Amerika Serikat memperdebatkan validitas persamaan [Zermelo’s proof]. “Belum pernah di zaman modern ini para ahli matematika berdebat secara terbuka dan tegas mengenai suatu bukti,” tulis sejarawan matematika Gregory Moore dalam bukunya yang diterbitkan pada tahun 1982. Aksioma Pilihan Zermelo.
Dan segalanya menjadi lebih buruk. Aksioma pilihan mengikuti apa yang disebut teorema Vitali, yang menurutnya dimungkinkan untuk membentuk himpunan bilangan real antara 0 dan 1 yang tidak dapat diukur. Aksioma pilihan memungkinkan untuk mengelompokkan angka-angka ke dalam himpunan bagian individual dan memilih elemen dari masing-masing himpunan bagian, yang himpunan hasilnya sangat bergerigi sehingga tidak lagi dapat diukur.
Hasil lain yang berlawanan dengan intuisi adalah penggandaan bola secara ajaib, yang lebih dikenal sebagai paradoks Banach-Tarski. Dengan bantuan aksioma pilihan, bola dengan volume V dapat dipecah menjadi bagian-bagian individual yang rumit dan disusun kembali sedemikian rupa sehingga menjadi dua bola dengan volumenya masing-masing V dibuat. Hal ini dan hasil lainnya telah meningkatkan ketidakpercayaan terhadap aksioma pilihan.
Sebuah Matematika Alternatif
Oleh karena itu, beberapa ahli bertekad untuk menolak aksioma pilihan dan malah hanya bekerja pada delapan kebenaran dasar teori himpunan Zermelo-Fraenkel. Namun mereka tidak pergi jauh. Faktanya, Zermelo meneliti karya beberapa kritikus paling keras terhadap aksioma pilihan dan mampu membuktikan bahwa rekan-rekannya—tanpa menyadarinya—sebenarnya telah menggunakan aksioma tersebut berulang kali.
Tanpa aksioma pilihan, misalnya, tidak mungkin memastikan bahwa setiap ruang vektor mempunyai basis. Sifat ini tersirat dalam pernyataan lain yang disebut lemma Zorn dan terdengar abstrak, namun fisikawan dan matematikawan merujuknya berulang kali. Anda dapat memvisualisasikannya dengan bantuan selembar kertas (yang dari sudut pandang matematika tidak lain adalah ruang vektor). Jika Anda menggambar dua anak panah pada lembar ini, satu menunjuk secara horizontal dan satu lagi menunjuk secara vertikal, Anda dapat mencapai titik mana pun pada lembar dari panah ini. Misalnya, Anda dapat menggerakkan 0,5 kali panjang panah pertama secara horizontal dan menambahkan 1,65 kali panjang panah kedua secara vertikal untuk sampai pada titik tertentu X.
Dengan demikian, lemma Zorn memungkinkan untuk menggambar sistem koordinat di setiap ruang vektor yang dapat digunakan untuk menggambarkan dengan jelas setiap titik dalam ruang tersebut. Jika Anda mengesampingkan aksioma seleksi, terdapat juga ruang vektor tanpa sistem koordinat—yang dapat menimbulkan masalah serius, terutama dalam fisika.
Ternyata teorema tatanan baik, lemma Zorn, dan aksioma pilihan tidak hanya berkaitan tetapi juga ekuivalen. Dari sudut pandang matematika, mereka berada pada level yang sama. Hal ini nampaknya mengesankan, seperti yang dikatakan ahli matematika Jerry Bona: “Aksioma pilihan jelas benar; prinsip-prinsip pengorganisasian yang baik jelas-jelas salah; dan siapa yang tahu tentang lemma Zorn?”
Apakah Aksioma Pilihan Benar atau Salah?
Masalahnya adalah Anda tidak dapat membuktikan suatu aksioma. Zermelo memperkenalkan aksioma pilihan karena delapan aksioma teori himpunan Zermelo-Fraenkel tidak cukup kuat dan tidak dapat digunakan untuk membangun fungsi seleksi. Dengan kata lain: jika Anda berada di alam semesta yang hanya menggunakan delapan kebenaran dasar yang diterima, Anda tidak dapat mencoba setiap kue di toko roti.
Namun beberapa ahli berpendapat bahwa mereka mungkin dapat menunjukkan bahwa menambahkan aksioma opsional ke delapan aksioma dasar akan selalu menimbulkan kontradiksi. Artinya, jika dikombinasikan dengan salah satu dari delapan aksioma Zermelo-Fraenkel, pernyataan kontradiktif seperti 1 = 2 dapat muncul. Jika demikian, menurut argumen tersebut, dasar-dasar matematika akan cacat, dan seluruh mata pelajaran akan runtuh seperti rumah kartu. Namun, seperti yang ditentukan oleh para ahli matematika pada tahun 1960an, hal tersebut tidak terjadi. Jika Anda menambahkan aksioma pilihan ke delapan kebenaran dasar, masalah seperti itu tidak akan muncul.
Namun hal sebaliknya juga terjadi. Anda dapat menambahkan negasi aksioma pilihan ke delapan aksioma Zermelo-Fraenkel tanpa menemui kontradiksi apa pun. Artinya, aksioma pilihan dapat dianggap benar atau salah, dan matematikawan bebas memilih salah satu dari dua kemungkinan tersebut.
Dunia tanpa Pilihan
“Orang biasanya mendengar aksioma pilihan digambarkan berguna untuk argumen matematis tertentu, namun bermasalah mengingat paradoks Banach-Tarski dan konsekuensi berlawanan dengan intuisi lainnya. Namun, menurut cara berpikir saya, diskusi pro/kontra yang lebih seimbang muncul ketika kita juga menyoroti situasi tersebut. berlawanan dengan intuisi yang bisa terjadi ketika aksioma pilihan gagal,” tulis matematikawan Joel David Hamkins dari Universitas Notre Dame dalam bukunya. Kuliah Filsafat Matematika.
Jika aksioma pilihan dianggap salah, timbul hasil paradoks dalam kaitannya dengan bilangan real. Misalkan Anda ingin membagi bilangan real ke dalam kelompok yang berbeda; nomor X ke dalam ember Anomor kamu ke dalam ember Bdan sebagainya. Setiap nomor dapat ditempatkan tepat di satu keranjang, dan setiap keranjang berisi setidaknya satu nomor.
Jika Anda menolak aksioma pilihan, Anda dapat membuktikan bahwa jumlah keranjang melebihi jumlah bilangan real. Jadi, terdapat bilangan real (dan keranjang) yang jumlahnya tak terhingga, namun jumlah keranjang yang tak terhingga lebih besar daripada bilangan real yang tak terhingga—setidaknya jika aksioma pilihannya salah.
Lebih buruk lagi, jika negasi dari aksioma pilihan itu benar, tidak hanya akan ada beberapa contoh (yang sangat fiktif) mengenai himpunan tak terukur—seluruh teori pengukuran akan runtuh! “Ini lebih buruk daripada sekedar memiliki set Vitali yang tak terukur,” tulis Hamkins dalam bukunya.
Karena alasan ini, aksioma pilihan telah diterima dalam matematika arus utama. Meskipun ada komunitas matematika kecil yang mencoba merombak total subjek tanpa aksioma pilihan, sebagian besar matematikawan kini telah menerimanya sebagai kebenaran. Hal ini merupakan suatu keberuntungan karena ini berarti Anda masih dapat memesan sampel kue dalam jumlah berapa pun dari pembuat roti—dan saya tidak perlu mulai belajar membuat kue.
Artikel ini awalnya muncul di Spektrum der Wissenschaft dan telah direproduksi dengan izin.
